[LivresLibres]化学现象的物理化学模型化处理——计算化学教程先导

ChevalRita

以下是去年出版的一本拙作的前两章内容。接下来我会逐渐更新计算化学的手把手系统教程，本章内容很适合作为先导，让读者知道计算化学究竟是干什么的，有什么意义。同时还顺便介绍了一些基本概念，以及从另一个角度推出自由能公式，也挺好玩的。

1.1 模型的建立和检验
在进入本书的讨论、借助计算化学的工具探索纷繁复杂的物质世界之前，首先提出一个问题：什么是科学研究？归根结底，科学家在做什么？
你可能会回答说，科学家进行日复一日的推理、演绎、实验、归纳，其目的是得到和增进对于客观世界的认识，从而实现对客观世界的掌握和操控。这个答案过于复杂了，我们能否用简单的几个字来概括科学研究的内容和目标？
回首自然科学的发展过程，我们很容易得到答案。现代化学脱胎于炼金术，在漫长的中世纪历史中，人们通过将不同的物质组合，在特定条件下进行反应，观察并记录了各种现象，但多数人都不认为炼金术是化学的一部分。通常认为，化学作为一门自然科学诞生于拉瓦锡和玻义耳的时代。玻义耳的《怀疑派的化学家》被认为是化学的开山之作，在其中他提出“化学，绝不是医学或药学的婢女，也不是甘当工艺和冶金的奴仆。化学本身作为自然科学中的一个独立部分，是探索宇宙奥秘的一个方面。化学，必须是为真理而追求真理的化学”。与此同时，他还发展了元素学说，并发展了理想气体定律。
在作为独立科学的化学诞生后，纵观其发展历史，从我们耳熟能详的重要事件中，我们很容易找到共性。1777年燃烧的氧气学说建立、1867年发现质量作用定律、1869年提出元素周期律、1874年提出碳的四面体结构、1916年提出路易斯结构式、1927年提出价键理论，所有这些决定了化学历史发展的标志性事件无一例外都与重要规律的发现、乃至于重要理论的建立相关。对于这些规律的认识深刻影响了人们看待物质世界的方式，每个化学家在此基础上进行思考，并通过自身的努力力求实现对规律的完善。
因此，我们可以发现，化学与炼金术不同、而作为一门科学的基础在于化学家的目的并非观察和记录现象，而是发现影响了物质变化行为的规律。而这些规律，都可以使用“模型”一词来描述。每种科学观点，都是对某些现象进行解释的一种模型。一言以蔽之，科学家的工作内容和目的，皆在于建立和检验模型。
模型可以通过多种方法得到。古人通过亲身体验和哲学思辨，认为冷热干湿四种属性决定了物质的行为，从而得到了四元素模型；近代的科学家通过对物质能否分解的观察，发现一些物质无法分解为其他物质并将其称为“元素单质”，从而建立了现代元素模型。Waage等人发现反应速率与浓度的幂成正比，总结为公式，形成了质量作用定律，构成了化学反应动力学的基本模型；后来人们发现许多反应的速率并不遵循质量作用定律，进一步提出这些反应由多种符合质量作用定律的基元反应构成。玻尔为了解释氢原子光谱，假定氢原子绕着原子核进行圆周运动，并提出了其原子结构模型；后来的科学家发现玻尔模型不能解释非氢原子的光谱，随后进一步提出了原子结构的量子力学模型。在这些例子中，我们能够发现科学研究的一些基本过程和方法，同时也是建立模型的基本过程和方法：观察、归纳、假设、演绎、检验。当一个模型能够解释当前观察到的所有现象时，它将被接受；当出现新的现象时，它可能依旧可以解释，从而得以保留，也可能无法解释，从而要么进行修正，要么被舍弃。
既然所有的科学研究过程都是在建立和检验模型，是不是只要提出一个能够解释该现象的模型就行？模型之间是否有高下之分呢？
让我们想象自己是一只猫。我们发现每过8小时，面前就会出现食物。作为猫中的科学家，通过观察归纳的方法，我们很容易建立这样的模型：在这个世界上，每隔8小时，食物就会自然出现。它完美地解释了当前观察到的所有现象，但从人类的视角来看，这个模型显然是荒谬的。如果这只猫坚持采用这个模型，当它的主人长期外出、并且忘记设置喂食时，这只猫就只能挨饿了。
仍然以猫举例。养过猫的人往往知道，晃动猫粮盒子时，猫就会跑过来。这是因为在猫看来，每次猫粮盒子发出声音后，就会紧跟着有食物倒出来。因此猫类科学家可能会得到这样的模型：猫粮盒子发出声音，会导致食物的出现。它同样解释了观察到的现象，但如果有一天主人只是为了让猫跑过来而晃动盒子、又不给它食物时，这只猫就会失望了。
上述两个模型都可以解释在猫的眼中观察到的事实，并且如果主人永远都循规蹈矩按时投喂，猫类科学家可能也永远观察不到与这些模型相冲突的现象。它可能会非常自豪，认为自己掌握了猫类科学的真理。但显然，这些模型都是错误的。
人类不应该嘲笑被困在家中的宠物猫。人类科学家发展出了纷繁复杂的手段，企图探究物质世界的规律，但这些努力在大自然面前仍然只是沧海一粟。人们既无法确保当前观察到的现象足够精密且不会出错，也无法预测未来会观察到怎样的现象，甚至有可能就像这只宠物猫一样受制于各种因素永远也无法观察到某些客观存在的现象。即使对于已经观察到的现象确定无疑，想要建立因果关系也十分困难，由于各种现象往往同时出现，难以将相关与因果分清，很难确保自己不会犯类似于“是盒子发出声音导致了食物出现”这种荒谬的错误。这些模型即使能够解释观察到的现象，也是由错误的原因偶然得到了正确的结论。对于科学研究来说，这甚至比无法得到确切结论更加有害，因为它会使得后人沿着错误的方向不断进发、投入越来越多的资源，当最终发现误入歧途时，往往已经走了相当多的弯路。
在科学发展的历史上，这种例子屡见不鲜。其原因多种多样。
第一种可能性是观察手段的欠缺。即使人们尽到了最大努力，由于各种检测手段时空分辨率的限制，仍然不能将现象背后的真正原因找到。就在最近（2021年），有人报道了一例无金属催化的Suzuki偶联反应）（Nat. Catal. 2021, 4, 71-78），并提出其采用的胺类催化剂独特的反应性导致了催化活性，一时引起了轰动。但很快，人们就发现，胺类催化剂并非起到决定性作用的物种，真正使得反应得以发生的是其中的痕量金属杂质。可以想象，如果人们没有发现真正的原因，想方设法去优化胺类催化剂的结构，将会面临多少不必要的困难。
第二种可能性是由于复杂现象可能有多种影响因素，彼此之间难以分离检验，很容易对现象产生错误的解释。例如，想象一个反应，与传统催化剂相比，某新型催化剂存在下表现出了良好的反应效果。有的人可能会很天真地提出解释：该催化剂有较高的催化活性，能够加速反应。但只需稍加思考，就能知道这种说法的不合理之处。针对观察到的现象，至少有如下几种解释：
与传统催化剂相比，新型催化剂能够加速主反应，并抑制副反应；
与传统催化剂相比，新型催化剂能够加速主反应，同时加速副反应，但对副反应的加速程度较少；
与传统催化剂相比，新型催化剂能够抑制主反应，同时抑制副反应，且对副反应的抑制程度较大；
与传统催化剂相比，新型催化剂对各反应速率没有什么影响，但有较好的稳定性；
与传统催化剂相比，新型催化剂对各反应速率没有什么影响，稳定性也差不多，但物料的传质更快；
与传统催化剂相比，新型催化剂对各反应速率没有什么影响，稳定性也较差，但溶解性更高；
……
可能对现象产生影响的因素彼此组合，有的产生积极影响，有的产生消极影响，在很多情况下，即使穷尽了充分的努力，也难以区分清楚究竟是哪一种情况。然而科学家的任务恰恰是找到其中的真相，如果对其原因进行了错误的指认，势必导致学术共同体在错误的道路上越走越远。
对于现象的错误归因带来的长期弯路的例子中，单分子磁体是一个典型。早期人们发现的单分子磁体往往是一些多核金属配合物，具有很高的自旋磁矩，因而人们很容易想当然地做出结论：自旋磁矩越高，单分子磁体的各项性能越好。然而经过20年的艰苦努力，不断试图寻找具有更高自旋磁矩的单分子磁体后，人们却发现鲜有突破，最终才恍然大悟，最初单分子磁体的性能与高磁矩的关系不过是巧合，甚至从某种意义上，高磁矩对于单分子磁体的稳定性是有害的。（Chinese Journal of Chemistry, 2020, 38(9): 1005-1018.）可见，当一个模型从错误的原因得到了“正确的”结果时，将产生很强的误导性，对科学发展有很大的危害。作为科学工作者，应当追求从正确的原因得到正确的结果；宁愿得不出结论，也应当设法避免对现象的错误归因。

经过上述的讨论，我们似乎陷入了一种困境。现象是无法穷尽的，观察是难以细致入微的，因此我们是否永远不可能知道这个世界的真正规律？
幸运的是，上述困境是建立在“我们通过观察和归纳认识世界”的基础上的。它之所以出现，正是由于观察永远是有限的，而且绝大多数实验观测都是通过所研究的目标物体对于外界的反应而进行的推论，因此都是间接证据；而在此基础上的归纳、对现象的解释更是在有限的间接证据基础上进行外推，难保不会出错。而除了观察和归纳外，我们还有其他的途径，即演绎和推理。
1.1 模型的建立和检验
在进入本书的讨论、借助计算化学的工具探索纷繁复杂的物质世界之前，首先提出一个问题：什么是科学研究？归根结底，科学家在做什么？
你可能会回答说，科学家进行日复一日的推理、演绎、实验、归纳，其目的是得到和增进对于客观世界的认识，从而实现对客观世界的掌握和操控。这个答案过于复杂了，我们能否用简单的几个字来概括科学研究的内容和目标？
回首自然科学的发展过程，我们很容易得到答案。现代化学脱胎于炼金术，在漫长的中世纪历史中，人们通过将不同的物质组合，在特定条件下进行反应，观察并记录了各种现象，但多数人都不认为炼金术是化学的一部分。通常认为，化学作为一门自然科学诞生于拉瓦锡和玻义耳的时代。玻义耳的《怀疑派的化学家》被认为是化学的开山之作，在其中他提出“化学，绝不是医学或药学的婢女，也不是甘当工艺和冶金的奴仆。化学本身作为自然科学中的一个独立部分，是探索宇宙奥秘的一个方面。化学，必须是为真理而追求真理的化学”。与此同时，他还发展了元素学说，并发展了理想气体定律。
在作为独立科学的化学诞生后，纵观其发展历史，从我们耳熟能详的重要事件中，我们很容易找到共性。1777年燃烧的氧气学说建立、1867年发现质量作用定律、1869年提出元素周期律、1874年提出碳的四面体结构、1916年提出路易斯结构式、1927年提出价键理论，所有这些决定了化学历史发展的标志性事件无一例外都与重要规律的发现、乃至于重要理论的建立相关。对于这些规律的认识深刻影响了人们看待物质世界的方式，每个化学家在此基础上进行思考，并通过自身的努力力求实现对规律的完善。
因此，我们可以发现，化学与炼金术不同、而作为一门科学的基础在于化学家的目的并非观察和记录现象，而是发现影响了物质变化行为的规律。而这些规律，都可以使用“模型”一词来描述。每种科学观点，都是对某些现象进行解释的一种模型。一言以蔽之，科学家的工作内容和目的，皆在于建立和检验模型。
模型可以通过多种方法得到。古人通过亲身体验和哲学思辨，认为冷热干湿四种属性决定了物质的行为，从而得到了四元素模型；近代的科学家通过对物质能否分解的观察，发现一些物质无法分解为其他物质并将其称为“元素单质”，从而建立了现代元素模型。Waage等人发现反应速率与浓度的幂成正比，总结为公式，形成了质量作用定律，构成了化学反应动力学的基本模型；后来人们发现许多反应的速率并不遵循质量作用定律，进一步提出这些反应由多种符合质量作用定律的基元反应构成。玻尔为了解释氢原子光谱，假定氢原子绕着原子核进行圆周运动，并提出了其原子结构模型；后来的科学家发现玻尔模型不能解释非氢原子的光谱，随后进一步提出了原子结构的量子力学模型。在这些例子中，我们能够发现科学研究的一些基本过程和方法，同时也是建立模型的基本过程和方法：观察、归纳、假设、演绎、检验。当一个模型能够解释当前观察到的所有现象时，它将被接受；当出现新的现象时，它可能依旧可以解释，从而得以保留，也可能无法解释，从而要么进行修正，要么被舍弃。
既然所有的科学研究过程都是在建立和检验模型，是不是只要提出一个能够解释该现象的模型就行？模型之间是否有高下之分呢？
让我们想象自己是一只猫。我们发现每过8小时，面前就会出现食物。作为猫中的科学家，通过观察归纳的方法，我们很容易建立这样的模型：在这个世界上，每隔8小时，食物就会自然出现。它完美地解释了当前观察到的所有现象，但从人类的视角来看，这个模型显然是荒谬的。如果这只猫坚持采用这个模型，当它的主人长期外出、并且忘记设置喂食时，这只猫就只能挨饿了。
仍然以猫举例。养过猫的人往往知道，晃动猫粮盒子时，猫就会跑过来。这是因为在猫看来，每次猫粮盒子发出声音后，就会紧跟着有食物倒出来。因此猫类科学家可能会得到这样的模型：猫粮盒子发出声音，会导致食物的出现。它同样解释了观察到的现象，但如果有一天主人只是为了让猫跑过来而晃动盒子、又不给它食物时，这只猫就会失望了。
上述两个模型都可以解释在猫的眼中观察到的事实，并且如果主人永远都循规蹈矩按时投喂，猫类科学家可能也永远观察不到与这些模型相冲突的现象。它可能会非常自豪，认为自己掌握了猫类科学的真理。但显然，这些模型都是错误的。
人类不应该嘲笑被困在家中的宠物猫。人类科学家发展出了纷繁复杂的手段，企图探究物质世界的规律，但这些努力在大自然面前仍然只是沧海一粟。人们既无法确保当前观察到的现象足够精密且不会出错，也无法预测未来会观察到怎样的现象，甚至有可能就像这只宠物猫一样受制于各种因素永远也无法观察到某些客观存在的现象。即使对于已经观察到的现象确定无疑，想要建立因果关系也十分困难，由于各种现象往往同时出现，难以将相关与因果分清，很难确保自己不会犯类似于“是盒子发出声音导致了食物出现”这种荒谬的错误。这些模型即使能够解释观察到的现象，也是由错误的原因偶然得到了正确的结论。对于科学研究来说，这甚至比无法得到确切结论更加有害，因为它会使得后人沿着错误的方向不断进发、投入越来越多的资源，当最终发现误入歧途时，往往已经走了相当多的弯路。
在科学发展的历史上，这种例子屡见不鲜。其原因多种多样。
第一种可能性是观察手段的欠缺。即使人们尽到了最大努力，由于各种检测手段时空分辨率的限制，仍然不能将现象背后的真正原因找到。就在最近（2021年），有人报道了一例无金属催化的Suzuki偶联反应）（Nat. Catal. 2021, 4, 71-78），并提出其采用的胺类催化剂独特的反应性导致了催化活性，一时引起了轰动。但很快，人们就发现，胺类催化剂并非起到决定性作用的物种，真正使得反应得以发生的是其中的痕量金属杂质。可以想象，如果人们没有发现真正的原因，想方设法去优化胺类催化剂的结构，将会面临多少不必要的困难。
第二种可能性是由于复杂现象可能有多种影响因素，彼此之间难以分离检验，很容易对现象产生错误的解释。例如，想象一个反应，与传统催化剂相比，某新型催化剂存在下表现出了良好的反应效果。有的人可能会很天真地提出解释：该催化剂有较高的催化活性，能够加速反应。但只需稍加思考，就能知道这种说法的不合理之处。针对观察到的现象，至少有如下几种解释：
与传统催化剂相比，新型催化剂能够加速主反应，并抑制副反应；
与传统催化剂相比，新型催化剂能够加速主反应，同时加速副反应，但对副反应的加速程度较少；
与传统催化剂相比，新型催化剂能够抑制主反应，同时抑制副反应，且对副反应的抑制程度较大；
与传统催化剂相比，新型催化剂对各反应速率没有什么影响，但有较好的稳定性；
与传统催化剂相比，新型催化剂对各反应速率没有什么影响，稳定性也差不多，但物料的传质更快；
与传统催化剂相比，新型催化剂对各反应速率没有什么影响，稳定性也较差，但溶解性更高；
……
可能对现象产生影响的因素彼此组合，有的产生积极影响，有的产生消极影响，在很多情况下，即使穷尽了充分的努力，也难以区分清楚究竟是哪一种情况。然而科学家的任务恰恰是找到其中的真相，如果对其原因进行了错误的指认，势必导致学术共同体在错误的道路上越走越远。
对于现象的错误归因带来的长期弯路的例子中，单分子磁体是一个典型。早期人们发现的单分子磁体往往是一些多核金属配合物，具有很高的自旋磁矩，因而人们很容易想当然地做出结论：自旋磁矩越高，单分子磁体的各项性能越好。然而经过20年的艰苦努力，不断试图寻找具有更高自旋磁矩的单分子磁体后，人们却发现鲜有突破，最终才恍然大悟，最初单分子磁体的性能与高磁矩的关系不过是巧合，甚至从某种意义上，高磁矩对于单分子磁体的稳定性是有害的。（Chinese Journal of Chemistry, 2020, 38(9): 1005-1018.）可见，当一个模型从错误的原因得到了“正确的”结果时，将产生很强的误导性，对科学发展有很大的危害。作为科学工作者，应当追求从正确的原因得到正确的结果；宁愿得不出结论，也应当设法避免对现象的错误归因。

在这一过程中，我们首先承认一种广泛成立的基本原理。它在本质上同样是模型，但它具备当前人类认识水平中最高的抽象程度，经受过最广泛的检验，从而被认为在当前认识水平下处处成立的普遍规律。从这种基本原理出发，按照模型进行演绎，来看是否能够得到各种观察到的现象。如果两者一致，则该模型通过了这次检验，否则就意味着这种模型与最底层的普遍规律相冲突，需要对模型假设进行修正。在这种框架下，对模型检验的整个过程都不依赖于对现象的解释；正相反，它是针对“对现象的解释”本身来进行检验，恰恰非常适合检查模型的正确性。在化学世界中，这种广泛成立的基本原理是量子力学和统计力学。基于量子力学和统计力学的原理，从基本物理规律出发来构建对于化学世界的描述，进而检验各种因素对现象究竟有何种影响，是计算化学的任务。
使用这种从下向上的方法进行模型检验，有如下优点：

从原理上没有不确定度，因为所有结果都基于基本物理原理，仅受到基本物理常数（如光速、元电荷等）的影响。而在实际操作中采取的近似处理，所带来的误差范围对于讨论化学问题也十分足够。
与光谱等基于分子对外界响应进行推论而带来的间接证据不同，计算化学直接研究微观粒子的行为，相当于直接“看到”结果，属于直接证据。而受限于不确定性原理的限制，人们不可能从实验上以足够的精确度“看到”电子。
通过演绎推理，可以很好地将可能影响复杂现象的各种因素分离开，单独研究某种因素所起到的角色。想要验证哪个假设，就去计算相关的物理量，不受其他因素的干扰，指哪打哪。
以之前提到的催化反应为例，虽然多种可能的因素难以通过对实验现象的观察来区分，使用计算化学的方法就可以带来深入和全面的理解：
为了验证催化剂是促进还是抑制了主反应，只需对主反应的机理进行计算，得到能垒，以判断各种催化剂对反应的促进或抑制作用及其强度。
为了验证催化剂是促进还是抑制了副反应，只需罗列可能的副反应并依次计算其能垒。
为了验证催化剂的稳定性，只需罗列可能的催化剂分解途径并以此计算能垒。
为了验证催化剂的溶解度，可以尝试考察溶剂化能、晶格能等相关物理量。
在排除各种可能性之后，如果仍有未尽之处，可以推测存在传质传热等非化学因素起到了作用。
由此可见，计算化学的手段在检验模型方面有巨大的威力。通过本书的介绍，读者将能体会到这种威力，并初步理解如何利用计算化学排除错误的模型和假设、建立正确的科学观点，实现“从正确的原因得到正确的结果”。

1.2 物质结构：分子、晶体与表面
对结构的理解是化学家认识世界的基础，对结构的表征鉴定是化学家日常工作中最重要的任务之一。在计算化学中，对结构的正确认识更是至关重要。在计算化学的工作流程中，首先构建特定的结构，随后研究该结构的物质具备的性质，只有对结构有充分的把握，使得所研究的结构能够充分反映所研究的问题，才能得到有意义的结果。
各种物质随着状态和性质不同，其结构千差万别。化学家感兴趣的物质通常有如下几类：气相分子或离子；溶液；晶体、无定形固体及其表面。它们又可以大致分为两类：具有明确且有限的原子组成的分子（又称为孤立体系），和在微观尺度看来几乎是无限延伸的凝聚体（又称为周期性体系）。
各种固体是周期性体系的典型代表。对于晶体，我们将其视作由晶胞在若干方向上无限重复构成，这也正是“周期性体系”名称的由来。晶体的实际尺寸可以相当庞大，而只需研究其重复单元，就可以充分理解其各种性质。
考虑一块宏观晶体的边界，此处即为它的一处表面。虽然宏观晶体可以有多个表面，通常每处表面的大小都远超过了晶胞的尺寸，在微观尺度上，可以将表面视作由在二维方向上无限重复的晶胞构成，因此表面也是典型的周期性体系。
无定形固体与晶体不同，不存在严格意义上的晶胞，整体呈现出无序性。但为了研究方便，通常仍然可以视作由特定的晶胞重复构成，而在这一晶胞内人们可以通过各种方法将其原子排列打乱，构建能够反映其无定形特征的结构模型，因此通常也作为周期性结构处理。
与固体相反，气态的化合物由明确的分子或离子构成。除了在通常条件下呈现气态的物质外，在以质谱条件为代表的特定环境下，可以人为生成许多气相分子、离子或团簇。这些物质均属于孤立体系。例如虽然氧化铝在通常状态下是高熔点的固体，属于典型的周期性体系，但在气相下，则以由几个到几十个原子构成的分子团簇的形式存在（10.1039/B212654K），并且其形状与固体结构可能有很大的差异。
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液体与固体类似，属于凝聚态，但无序程度相当高，组成溶液的各分子排列非常灵活。如果要研究溶液的实际结构，即其中各溶剂和溶质分子是如何排列的，通常仍然会使用周期性边界条件：建立适当大小、包含特定数量溶剂和溶质分子的盒子，并将体相溶液视作该盒子在三维方向无限重复构成。而如果并不关心溶液的实际结构，仅关心其中溶质的行为，则可以将溶液等效为一个外部环境，仅研究浸泡在这一外部环境中的溶质分子或离子，此时则成为了典型的孤立体系。
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图1.2.2 溶液的体相和分子结构示意

大多数情况下，当研究溶液中的化学反应时，关注的都是溶质分子的变化，取溶质分子作为孤立体系进行研究是非常方便、准确的。在这一过程中，务必对溶液中分子的存在形态有充分的理解。以NaCl溶液为例，如要研究水中钠离子与15-冠-5（15-c-5）分子的结合情况，则需要知道NaCl在水中的存在形式为Cl-和Na(H2O)4+，且水中盐类完全电离，阴阳离子无相互作用，因此只需研究如下分子（离子）间的反应，即可得到该结合过程的自由能变：
Na(H2O)4+ + 15-c-5 → Na-15-c-5+ + 4H2O
在后续的章节中，我们将会知道，孤立体系与周期性体系适用于不同的处理方法，分别属于量子化学和第一性原理计算的范畴。

1.3 化学反应热力学
从广泛成立的基本原理出发构建化学世界的过程中，我们既要知道单个微观粒子的性质，这需要借助量子力学；也需要知道一群微观粒子的性质，这需要借助统计力学；还需要知道这些性质如何与宏观行为联系在一起，这需要借助化学反应热力学和动力学的知识。化学反应热力学和动力学是统计力学的推论，但由于其特殊的重要性，格外需要每个化学研究者关注并深入掌握。任何物理化学教科书中都会详细探讨化学反应热力学和动力学，在本节和接下来一节中，我们对其中要点进行回顾。
化学反应热力学探究了一个化学反应是否有可能发生、至多能以何种程度发生的问题，其中最重要的是平衡的概念。它解答了化学反应达到平衡时各物质的浓度是多少的问题。
化学反应热力学中最重要的概念是自由能。我们采用如下脉络，来重新梳理一遍自由能的定义。
在日常生活中，为了判断一个物体是否有向其他状态转变的趋势，我们从直觉上习惯通过受力来进行分析。当物体受力为0时，可以保持当前状态。在这其中又有稳定和不稳定两种情况。当一个正方体用一个面立在桌子上时，受合力为0，且保持稳定；而当它用一个顶点立在桌子上、且重心与顶点的连线垂直于地面时，其所受合力同样为0，但并不稳定，稍受扰动就会转变为用面立在桌子上的状态。
然而在化学世界中，我们讨论物质之间的转化时，所提到的物质几乎都可以自身稳定存在，这反映在受力上，就意味着各分子所受的合力始终为0。因此，无法将日常生活中基于受力分析建立起的朴素观念套用在化学世界中。取而代之，我们会通过能量来讨论。
能量需要满足如下性质：每个体系都能定义一个确定的能量；体系倾向于采取能量最低的状态；要想让体系的能量升高需要从外界得到能量。接下来让我们思考，如何定义一个满足这些性质的“能量”？
为了回答这个问题，自然而然地，我们会想到传热过程。几乎所有化学反应都伴随着热效应，传热过程的方向性容易与“能量降低”的方向联系起来。然而，不存在任何办法能够测定一个体系“包含多少热量”，只能测定出一个过程中两个相互接触的体系之间传递了多少热，因此热是与过程相关的量，不能满足“每个体系均能定义一个能量”的要求。但我们可以采取如下定义：
选定一个参考体系A，定义其属性X = 0.当它转变为体系B时，向外界传递了数量为Q的热，则体系B的属性X = -Q. 当这一过程伴随着做功时同理。通过这种方法，就定义了相对于某个参考基准的属性，满足我们期待“能量”能满足的性质。上述属性X，在恒容情况下被称作内能(U)，在恒压情况下被称作焓(H)。
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图1.3.1 通过热的传递衡量体系内能

接下来我们思考，上述定义的“能量”是否足以反映化学问题，也就是说，它是否使得我们足以相信，物质会倾向于采取使得这种“能量”最低的状态？
让我们回到日常生活中，很容易就会发现这种定义的不足之处。将体系的演化类比为一个在曲面上滚动的小球，显然小球倾向于停留在曲面上的洼地，从而使得重力势能取得最低。我们将重力势能类比为上述方式定义的“能量”，当小球停留在每个洼地所在的区域时，就认为它对应于某种状态。但接下来我们考虑这个问题：在地面上有两张地毯，都是平铺，故高度相同；两张地毯的面积不同，分别为A1和A2。当小球落在某个地毯上时，就相当于进入了某种状态。当小球从高处随机滚落时，显然小球落在两个地毯上的概率不同，概率之比等于A1/A2。这个例子告诉我们，重力势能并非决定小球进入何种状态的唯一因素；在势能之外，还有一个统计因素在发挥作用。现在我们将势能项和统计项（暂时记作Y）相加，定义最终的能量E = H + Y或E = U + Y。

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图1.3.2 化学反应的地毯小球模型

为了进一步确定这一统计因素的形式，引入玻尔兹曼分布，它可以通过经典物理学推导出来。即，对于一个正确定义的能量E，体系在平衡时处于状态1和状态2的概率比应当等于exp(-(E1 – E2)/kT)，其中k为玻尔兹曼常数，T为温度。采用地毯上的小球模型，可得A1/A2 = exp(-(E1 – E2)/kT)，又知H1 = H2，容易知道(Y1 – Y2) = -kTln(A1 – A2). 从而可以定义Y = -kTlnA。在化学世界中，地毯的面积对应了某个（宏观）状态内包含多少微观状态数N，这样我们就知道了决定体系平衡时状态的能量应当遵循H（或U） - RTlnN的形式，这一能量被称为自由能。定义熵S = klnN，可将自由能定义如下：
吉布斯自由能G = H – TS
亥姆霍兹自由能A = U – TS
它们完全满足我们对于能量的期待。自由能对于处于特定状态的体系唯一确定，并且仅与体系状态有关；体系倾向于降低其自由能，并且处于不同自由能的状态之间的概率比满足玻尔兹曼分布。这最后一点非常重要，因为它告诉了我们化学反应达到平衡时的浓度情况。由此可以得到关于平衡常数的结论：
对于每个化合物，可以定义其标准自由能。以化学反应aA + bB →cC + dD为例，标准自由能变为：
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平衡常数由标准自由能变决定，为：

其中[C]等为各物质的平衡浓度，R为理想气体常数。因此，只要知道了一个反应的标准自由能变，就能知道达到平衡时各物质的含量，这是研究化学反应时最关键的信息之一。对于A→B的反应，当∆G^‡ 为0时，表明平衡时A和B的含量相等，各占一半；如果∆G⁰ = +1 kcal/mol, 则室温下A的平衡浓度大约是B的5.4倍；如果∆G⁰ = -1 kcal/mol，则室温下B的平衡浓度大约是A的5.4倍。一种常见的说法是∆G^‡ 表明了反应是否自发，显然，采取这一说法时必须严格限定“自发”的含义，绝不能理解为“∆G⁰>0的反应不能自行发生”。
自由能变是容量性质，与化学方程式的写法有关。通常能接触到的（即方程式中的计量数符合习惯、不太大或太小）大部分化学反应的自由能变在零点几到几十个kcal/mol的范围内。
自由能由焓和熵两项组成，焓的减少和熵的增加都有利于自由能的降低。其中焓与热效应有关，容易理解，而熵是统计效应，缺乏日常生活中的对应，因此我们通过地毯小球模型，尽可能希望帮助读者理解。对于分子，熵包含平动、转动和振动的贡献，分子越灵活、运动越自由，能采取的状态就越多，具备越高的熵。其中平动熵对于大多数分子数量级相似，大约为30 e.u.，其中1 e.u. = 1 cal/(mol·K)。在2分子结合为1分子的过程，1各分子的平动熵被部分损失了，并且结合越强，损失的熵越多。因此，几乎所有结合过程都伴随着明显的熵减。当焓效应不足以抵消熵减时，就会发现结合自由能为正值。例如众所周知水分子非常倾向于形成氢键，然而用热导率法测定出水分子形成氢键二聚体的焓变和熵变分别为-3.63 kcal/mol和-18.61 e.u. （10.1016/0009-2614(78)85290-7），容易知道这一结合过程在373 K下的自由能变为+3.3 kcal/mol。这在基于非共价作用的结合中是普遍现象。

1.4 化学反应动力学
化学反应热力学回答了反应体系在平衡时各物质的浓度问题，但没有回答需要如何才能达成平衡的问题。发生反应并达到平衡需要时间，化学反应的速率随着反应本性不同而跨度很大，某些高度活泼的中间体能在几百飞秒内发生反应，而许多反应等待几百万年也难以发生。化学反应动力学解答了与化学反应的速率有关的问题。
构成化学反应过程的基础是基元反应。基元反应是那些通过分子的一次或几次（由于不一定每次碰撞都有足够恰好的能量来激活反应）碰撞、或化学键的一次或几次（与碰撞同理）振动就可以发生的反应，除此之外的被称为复杂反应，是一系列基元反应的组合。反应机理即为构成复杂反应的基元反应的序列。以乙酸乙酯水解为例，总反应为MeCO2Et + H2O → MeCO2H + EtOH，机理可能如下：
MeCO2Et + H3O+ → MeC(OH+)OEt + H2O
MeC(OH+)OEt + H2O → MeC(OH)(OH2^+)(OEt)
MeC(OH)(OH2+)(OEt) + H2O → MeC(OH)(OH+)(OEt) + H3O+
MeC(OH)(OH+)(OEt) + H3O+ → MeC(OH)(OH)(OHEt+)
MeC(OH)(OH)(OHEt+) → MeC(OH+)OH + EtOH
MeC(OH+)OH + H2O → MeCO2Et + H2O
（以上展示的是特殊酸催化的机理，还可能有一般酸催化、特殊碱催化、一般碱催化、proton-shuttle等其他机理）。

分子反应中的基元反应通常有如下几类：
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表面反应的机理往往更为复杂，表面大量悬挂键的存在使得其电子结构变化多端，而且这些反应经常在较高温度下进行，使得许多非常规的反应模式得以发生，基元反应的种类比较丰富。
定义反应速率r为浓度随时间的变化率。形如aA + bB →cC + dD的基元反应的速率遵从质量作用定律：
r=k[A]^a [B]^b
可见基元反应的速率正比于反应物浓度的幂，指数恰好等于发生该基元反应中该分子的计量数，称作反应对该物质的级数。显然，基元反应对某物质的级数要么是0，要么是正整数。k是与反应本性和温度有关的常数，称作速率常数。
只有基元反应严格服从质量作用定律。对于复杂反应，其表观速率可通过其机理、结合各基元反应的质量作用定律推导而来。它可能仍然服从质量作用定律的形式，也可能是许多服从质量作用定律形式的项之和，也可能更为复杂。对于服从质量作用定律形式的反应，可以类似地定义其对各物质的级数，这些级数既可能是整数也可能是分数，既可能是正数也可能是零或负数。
例如丙烯与氯化氢的加成反应，其表观速率方程表现出两项之和的形式：
r= k_1 [alkene] [HCl]²+ k_2 [alkene][HCl]
这提示该反应有两种机理共存，其中一条对氯化氢为一级，另一条对氯化氢为二级。
基元反应的速率常数服从Eyring方程：
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其中h为普朗克常数，kB为玻尔兹曼因子，T为温度。κ为传输因子，对每个基元反应为一个确定的常数。在其中包含一个玻尔兹曼形式的指数项，∆G^‡ 称作活化自由能（Gibbs free energy of activation），又称活化能垒（Gibbs free energy barrier）。与化学反应热力学中的自由能类似，活化自由能也可以分解为活化焓和活化熵，它们统称为活化参数。
活化自由能的物理意义与过渡态的概念相关。在势能面上，每个化合物都是能量的极小值点，对其结构的微小扰动都将导致能量上升。在一个基元反应过程中，随着反应进行，绝大多数情况下能量并非在底物和产物能量之间单调变化。在反应的初期，随着底物结构发生扭曲重组，能量逐渐上升；随后底物逐渐向反应物转变，产生的新的相互作用使得能量下降，在反应路径上产生一个能量的极大值点。沿着反应路径方向的能量极大值点被称为过渡态（transition state, TS）。为了抵达过渡态而需要付出的能量构成了活化自由能。
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图1.4.1 反应路径上的过渡态与活化自由能

由于过渡态不是极小值点，分子不会在过渡态停留可观测的时间，没有任何方法能够直接观测过渡态的结构。想要探讨过渡态的结构和性质，可以通过一些机理研究手段进行间接推测（见下一节），而如果想要直接观察过渡态的几何和电子结构，必须借助计算的手段。
对于复杂反应，表观速率常数与温度通常仍然表现出与Eyring方程类似的指数关系，此时可以定义表观能垒（overall barrier）。通过Eyring方程，我们可以估算室温下表观能垒与一级反应速率常数和半衰期的关系。
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可见反应速率随能垒改变而显著变化，室温下能垒每升高1 kcal/mol，速率就降低大约5倍。表观能垒低于23 kcal/mol的一级反应可以认为能够在室温下在可接受的时间尺度（几小时到几天）内发生。通常，在讨论计算结果时我们可以将这条界限放宽到25 kcal/mol。用类似的方法，可以估计其他温度下能垒在何种范围内的反应能以可观的速率发生。

1.5 机理和研究机理的手段
对反应机理的探究和解析是化学研究的重要主题，也是对化学反应进行深入认识和理性设计的基础。机理研究主要有以下手段：

反应级数和活化参数
动力学是机理的直接体现，对动力学的测定和分析是研究机理最重要的手段。其中最重要的是反应级数和活化参数。反应级数可以通过准一级条件下测定特定物质浓度随时间的关系确定，也可以通过测定初始速率随初始浓度的关系确定。活化参数可以通过变温条件下的反应速率测定。通过反应级数的研究，可以判断哪些分子参与到了决速步和决速步之前的步骤中，以及它们的当量；而活化参数则可以帮助判断决速步过渡态的性质，特别是活化熵可以用于判断决速步中分子数量的变化。如以1.4节中所举的烯烃与氯化氢反应为例，其动力学方程包含对氯化氢为一级和二级的两项，提示该反应可能存在两种机理共存，且在决速步中分别有一分子和两分子氯化氢参与。这对应了烯烃亲电加成的两种机理：

图1.4.2 烯烃亲电加成的两种典型机理
同位素实验
动力学同位素效应（kinetic isotopic effect, KIE）的测量构成了同位素实验中最重要的部分。KIE实验中，对某个原子进行同位素取代，研究同位素带来的速率变化，以判断该原子在决速步中的角色。最常见的是氢原子KIE，当决速步中涉及某个氢原子与其他原子之间的化学键断裂时，用氘取代氢，将导致明显的速率减慢（正常的一级KIE）；类似地，当决速步中不直接涉及这个氢原子的变化，但氢原子所连接的原子的杂化方式改变时，将产生较小的二级KIE。
除了氢原子KIE外，随着核磁共振技术的进步，对碳原子或其他重原子KIE的测量技术也得到了发展，并能够带来多种机理信息。
除了KIE，同位素取代也能带来更多独特的机理信息。由于同位素的化学性质大体上相同，通过在反应物的特定位置引入同位素，观察产物中的同位素分布，可以追踪相关原子在反应过程中的去向。在一些反应中，原子位置可能随着一些可逆过程的不断发生而改变，此时通过观察同位素的分布是否发生紊乱，可以判断机理中的某些步骤是否可逆。
中间体捕获
当怀疑某些中间体参与到了反应过程中时，可以尝试通过分离纯化、加入捕获剂、或采用原位光谱手段，对该中间体的存在性进行验证。如果能将该中间体分离出来，再投入到反应体系中，发现该中间体可以顺利转化为产物，则可以在一定程度上支持它在反应过程中的角色。
需要注意的是，能够分离捕获的中间体往往有较高的稳定性，并非所有中间体都能分离。此外，捕获到该中间体只能证明其存在于反应体系中，而不能证明它在反应过程中究竟起到了何种角色。即使该中间体能够在反应条件下转化为产物，也无法证明它是直接出现在反应路径上，还是需要先转化为其他中间体再发生反应。因此，中间体捕获只能是证明“相关性”的手段，而对“因果性”的证明，必须结合更多更充分的证据。
机理计算
与之前各种手段不同，计算化学的手段不是通过反应体系表现出的特征进行推测来间接研究机理，而是直接得到拟定出来的机理中各步的热力学和动力学，从而验证该机理是否可行。其具体过程将在第7章进行探讨。机理计算是用于检验模型的手段，在进行机理计算之前，必须尽可能收集各种证据，拟定出若干有可能的机理，这就需要综合运用上述提到的各种机理研究的方法，并充分考验着化学家的智慧和劳动。而在此基础上，计算化学带来的直接与定量检验机理模型的能力，则极大地增强了化学家对化学反应机理的把握和信心。

ChevalRita

2.1 量子力学原理及实现
从19世纪末开始，随着对物质结构认识的不断深入，人们逐渐认识到了在分子原子尺度下存在与经典物理学不同的物理规律，并逐渐总结发展出了量子力学。以20世纪20年代薛定谔和海森堡分别提出波动力学和矩阵力学为标志，量子力学作为一门描述微观尺度粒子行为的学科而逐渐得到发展。经过大量实践的充分检验，量子力学被公认为在分子原子尺度下的普遍规律。
随着人们对物质结构认识的进一步深入，物理学家探讨的尺度深入到了原子核和其他亚原子粒子，并发展出了用于描述更加微观粒子的多种理论体系。而在分子、原子尺度，量子力学的有效性至今仍毋庸置疑。而化学家最关心的，莫过于分子、原子尺度的行为，因此对于化学世界，量子力学可以视为放之四海而皆准的“第一性原理”。
在目前被普遍接受的量子力学及其波恩学派解释的框架下，微观粒子的行为可以通过如下方法描述：
粒子的状态使用波函数描述，它服从特定的波动方程，这使得人们可以对波动方程进行求解而得到关于波函数的信息。
波函数中包含了关于粒子状态的全部信息，将各物理量所对应的算符作用于波函数，即可得到物理量的值或其期望值。
在非相对论的情况下，波动方程的形式即薛定谔方程，它是关于能量算符H的本征值方程，其不含时间的形式为HΨ=EΨ。其中H是哈密顿算符，由粒子的动能和势能各项加和得到。通过对方程的求解，即可得到波函数Ψ以及各个状态下有可能取到的能量本征值E。
在当前最流行的波恩诠释框架下，波函数本身无物理意义，而其平方表现了粒子在空间某处出现的概率密度。
量子力学的框架给出了求得微观系统各种性质的路径。特别是对于化学家关心的场合，最感兴趣的是物质的结构和能量；能量可以通过求解薛定谔方程直接给出，而一旦知道了能量，通过对坐标求导得到梯度，就可以知道物质采取何种几何结构时的能量最低，进而带来对物质结构的认识。另一方面，波函数直接描述了电子的行为和状态，通过对波函数的分析，就可以知道电子在构成分子过程中的各种相互作用。因此，自从量子力学发展以来，化学也得到了飞速的进步。化学家耳熟能详的价键、共振、轨道等概念，均是来源于对量子力学所得出的结论的归纳。正因此，在量子力学的规律得以建立之后，狄拉克做出了他著名的论断：“所有的化学问题和大部分物理问题都已经解决，仅剩的问题是如何求解方程。”
在薛定谔于1927年提出其波动方程时，他就对只有一个电子的类氢离子体系进行了求解。在这个体系的哈密顿算符中，只涉及一个电子的动能以及它与原子核之间的静电势能，可以轻易得到其解析解。而当扩展到多电子体系时，哈密顿算符将包含各电子两两之间的静电作用，这导致电子之间的运动彼此无法分离，使得方程缺乏解析求解的手段。为了尽可能地解出多电子薛定谔方程，人们发展出了多种手段，沿着其脉络，就可以了解当代计算化学的发展历程。这些方法大致遵循如下的思路：
由于真实波函数的形式并不知道，首先基于各种手段，给出一个能够尽可能逼近它的近似形式，然后设法对其进行改进。
对于变化莫测的多电子多原子分子，需要有一个统一而高效的构建波函数的方法，因此人们采取基组（basis set）展开的手段，用一组固定的基函数像搭积木一样构建体系的波函数。
由于通常无法一步求出波函数的形式，采用迭代的方法进行求解。
Hartree-Fock （HF）方法是求解多电子薛定谔方程的最初级方法。它将电子的相互作用当做每个电子与一个固定的“平均电子云”之间的相互作用并体现在哈密顿算符（此时称为Fock算符）中，从而将瞬息万变的电子相互作用分离开。在求解过程中，首先基于现有的波函数初猜，得到电子的密度分布，从而构建Fock算符。对该Fock算符的本征方程（Fock方程）进行求解，得到新的波函数，不断重复这一过程，待能量、电子密度等各种指标达到收敛后，即得到了HF水平下的波函数。这种迭代的求解方法被称为自洽场（SCF）。
HF方法虽然可以一定程度上描述微观体系的行为，但由于忽略了电子的瞬时相互作用，得到的结果与真实值相差甚远。HF所不能描述的部分被称为“电子相关”。有许多方法，如基于微扰理论的Møller–Plesset （MP）方法、基于耦合簇方程的耦合簇（coupled cluster, CC）方法等，力图在HF波函数的基础上进行改进，得到比HF波函数形式更复杂、对真实波函数具备更强描述能力的函数形式，并在HF能量的基础上引入反映了电子相关的相关能。因其基于对HF结果的改进，这些方法统称为post-HF方法。由于多电子哈密顿算符的复杂性，想要在HF的基础上进行改进，是一件难上加难的事情，导致post-HF方法的耗时往往相当高。原始的HF方法的耗时是O(N4)，即随着体系大小呈四次方增长，而post-HF方法的耗时可以达到O(N7)的量级。
在众多post-HF方法中，MP2由于实现起来相对简单，在过去先进理论方法匮乏的年代曾经多有流行，而现在已经由于耗时又长、精度又不好而被完全淘汰。只有以CCSD、CCSD(T)等为代表的耦合簇方法在现今仍有重要意义；这些耦合簇方法有相当高的精度，被作为检验计算方法的金标准。
随着Kohn、Hohenberg、Sham等人的工作，另一条与post-HF方法平行的道路备受关注，并且迅速成为计算化学的主流，这就是密度泛函理论（density functional theory, DFT）。与post-HF方法专注于在HF结果上进行改进不同，DFT选择了另一条完全不同的道路。它基于如下定理：
除了波函数外，电子密度同样可以唯一确定一个体系的各种性质。通过一个作用于密度函数的函数（即“泛函”），可以得到体系的基态能量。
体系的基态电子密度即为能让体系能量最低的电子密度。
因此与HF/post-HF不同，DFT的出发点并不是求解体系的波函数，而是设法求解电子密度。从原理上，它不必再遵循多电子体系复杂哈密顿算符的桎梏，因而具备简单高效的特点。从现实角度，事实上人们仍然不知道如何直接求出体系的密度，但从波函数来得到密度是很简单的，因此仍然要借助波函数作为中介（这被称为Kohn-Sham框架），只不过此时人们不再需要像HF/post-HF那样想尽办法死磕波函数的准确性，而只需设法改进它所带来的密度即可。具体来说，就是基于泛函去构建与Fock方程形式类似的方程（K-S方程），迭代求解得到收敛后的“波函数”、并进一步得到密度后，让泛函作用于密度，即可得到体系能量。而能量的准确性并不取决于“波函数”的形式有多复杂，而是取决于泛函的质量。在这里，我们给“波函数”打上了引号，正是因为它的存在目的不再是去重现体系的真实波函数，而是去得到尽可能准确的密度。这样，我们就把困扰post-HF的计算量问题绕过了，通过对泛函进行改进，开发尽可能接近真实泛函的泛函，就可以通过与HF相仿的计算量、通过一次SCF得到理想的结果。
因此，DFT的发展脉络就跟泛函开发息息相关。最早Slater等人提出的Xα泛函、Perdew、Becke和其他重要研究者提出的PBE和B3LYP泛函、Truhlar等人提出的M06-2X和后续更多明尼苏达泛函等，每个重要泛函的提出，都可以称作DFT发展过程中的里程碑事件。在当今时代，泛函浩如烟海，几乎对于每个化学问题，都有合适的泛函可供选择。正因其较低的计算量和优秀的精度，DFT成为了构成当今计算化学的绝对主力。目前的泛函可以按照其形式，被分为LDA、GGA、meta-GGA、杂化、双杂化等类别，复杂程度依次升高，总体表现也逐渐变好。
基于这些理论，人们得以方便地研究各类化学问题。根据处理的体系不同，人们对基于量子力学的计算化学研究分成了两类，即量子化学和第一性原理。以下我们将用两节的篇幅分别对两者进行基础介绍。
2.2 量子化学计算的流程、输入和输出
通过量子力学的原理，求解分子体系的结构、能量、性质等，属于量子化学的研究范畴。量子化学计算的常用软件包括Gaussian、ORCA、molpro、molcas、xtb等。
根据之前的论述，我们已经知道，我们需要一组特定的函数（被称为基函数）进行组合来描述体系的波函数。对于每个元素，人们已经通过各种方法确定了一系列固定的基函数组合，后来者可以直接使用，这被称为基组。例如形如6-31G(d)、6-311+G(d,p)等的Pople型基组、形如def2-SVP、def2-TZVP等的Ahlrichs def2-系列基组，形如cc-pVTZ等的Duning相关一致基组等。在进行计算时，需要给每个原子指定合适的基组。显然，基组越大、包含的基函数数量越多，描述波函数的能力就越强。
之前提到的形如HF、MP2、CCSD(T)、DFT等被称为理论方法。对于DFT，还必须指定使用何种泛函。方法与基组合在一起，再加上若干其他细节（如溶剂化的处理等），被称为计算水平，它构成了能够让人明白这个计算怎样进行的最关键信息。我们在报道计算水平时，往往将理论方法和基组放在一起，例如“本计算在M06-2X/def2-SVP水平下进行”，其含义为使用了DFT的理论方法，采用了M06-2X泛函，结合def2-SVP基组来完成这个计算。
计算水平确定了对于给定分子如何求解其各项性质；另一方面，在进行计算之前还需要确定所需研究的分子本身。在绝大多数量子化学计算中，假定一个分子的各种性质均由原子核的位置确定（波恩-奥本海默近似），因此最终得到的是各个原子核处于给定位置（即分子处于给定几何结构）时分子的性质。为了让计算得以开展，首先需要建立分子的三维结构，并指定分子的带电状态；对于带有成单电子的分子，需要考虑单电子的自旋排列情况。这对应着量子化学计算过程中用于描述分子的三个要素：几何结构（原子坐标）、电荷、自旋多重度。给量子化学程序输入计算水平、几何结构、电荷、自旋多重度的设定，再指定任务类型、告诉程序要进行什么工作，就可以开展量子化学计算了。
量子化学计算的第一步是构型优化。绝大多数情况下我们都无法直接得到分子的准确结构，因此在输入文件中构建的都是对结构的初猜。在构型优化过程中，分子结构将从任意初始结构出发，沿着能量最小化的方向进行弛豫，得到一个距离初始构型较近的低能结构。只有基于这些结构，研究其他性质才有意义。在完成构型优化后，可以通过频率计算得到热力学量和振动光谱，也可以通过其他波函数分析手段得到更加丰富的电子结构信息。
以下以使用Gaussian 16结合M06-2X/def2-TZVP水平得到氢气的键解离能为例，展示量子化学计算的普遍方法。
为了得到氢气的键解离能，需要知道氢气生成两个氢原子的焓变。因此需要分别求得氢气和氢原子在给定温度下的焓。在Gaussian中，为了得到氢气在M06-2X/def2-TZVP水平下的焓，需要首先构建氢气的初始结构，随后进行构型优化。对应的输入文件如下：

%mem=4GB
%nprocshared=4
%chk=h2.chk
\# opt freq m062x def2tzvp

Title Card Required

0 1
H -0.23262890 -0.46914620 0.00000000
H -0.83262890 -0.46914620 0.00000000

Image description
图2.2.1 GaussView中显示的对氢气进行构型优化和频率计算的输入文件

其中前三行意味着计算过程使用4个CPU核心和4 GB内存，并将波函数信息保存到h2.chk中。接下来opt freq指定程序依次进行构型优化和频率计算，M06-2X/def2-TZVP在Gaussian输入文件中写作m062x def2tzvp。这个分子不带电，电荷为0；没有成单电子，自旋多重度为1，两个氢原子分别位于如上所示的坐标（单位为Å）。
Gaussian输入文件的常用后缀是.gjf。提交上述.gjf文件后，可以得到h2.chk和h2.log两个输出文件。前者包含了波函数信息，体积很大，本身是个二进制文件，不能被其他程序读取，如果要给别人传递则需要先通过Gaussian自带的formchk工具转化为.fchk文件；如果不需要分析其中的波函数信息则可以不必留着。后者是个文本文件，包含了计算过程的绝大部分信息。
打开.log文件，会发现其中有许多形如：
SCF Done: E(RM062X) = -1.14998308905 A.U. after 8 cycles
的内容。经过上一节的介绍，我们已经知道了SCF的含义。在构型优化过程中，程序不断对结构进行SCF得到能量和受力，沿着受力确定能让能量降低的下一个结构，直到能量达到收敛标准。因此，无论是SCF还是构型优化，都是迭代过程。计算化学中的迭代过程还有很多；只要是迭代，就可能会出现不收敛的情况。只有经过收敛的结果才有意义。
上述输入文件经历5步构型迭代后构型优化达到收敛，此时两个氢原子的距离为0.74 Å，此时的结构即可认为是氢气分子的平衡构型。随后在频率计算部分程序会输出：
Sum of electronic and thermal Enthalpies= -1.154956
意味着在当前水平下氢气的焓是–1.154956 Hartree。由于没有在输入文件中指定温度，这是默认温度298 K下的结果。这是以孤立的原子核与电子为零点的能量，被称为绝对能量。绝对能量本身无意义，其数值受到计算水平影响很大，也不对应任何可观测的物理量。化学家关心的永远是反应过程的能量变化，即相对能量。
随后采取相同的方法对氢原子进行计算。由于只有一个原子，不需进行构型优化，只需频率计算：

%nprocshared=4
%mem=4GB
# freq def2tzvp m062x

Title Card Required

0 2
H 0.00000000 0.00000000 0.37008200

随后可以得到氢原子的焓是–0.495778 Hartree，于是容易知道氢气在298 K的键解离能为2 × (–0.495778) – (–1.154956) Hartree = 102.5 kcal/mol。与光谱测量得到的104.2 kcal/mol十分接近。
在优化构型的基础上，我们还可以进行其他计算。基于确定的构型的计算被称为单点（single point）计算；我们可以更换大基组进行单点计算得到更好的能量；核磁、紫外吸收光谱、圆二色谱等各种性质，也可以通过单点计算得到。
通过上述流程，我们可以知道如下几点：

在给定理论方法下，量子化学计算的结果仅取决于原子核的位置。无论是输入还是输出文件，对于分子的描述都只限于几何结构、电荷和自旋多重度，一切性质都从中而来。特别是不存在人为主观假定的“某几个原子是否成键、成何种键”；恰恰相反，它们是通过对结果的分析得到的。这一点在之后的章节会继续讨论。
所有的结果都依赖于几何结构。想研究什么分子，就建立相应的几何结构；想研究什么反应，就建立相应的反应物、生成物、可能还涉及到中间体和过渡态；分别计算并最终得到反应过程的能量变化。种瓜得瓜，种豆得豆；输入什么，就决定了输出什么；这意味着在进行整个计算化学工作时必须对所研究的问题始终保持清晰的认识。另一方面，这也带来了计算化学“指哪打哪”的特性，可以很好地实现对某个过程的专门研究，避免了各种意想不到的其他因素的干扰。
整个计算过程中，只要选定了计算水平，对于特定的分子，其结果就是确定的。对于同一个文件，除了某些极为偶然的故障因素外，反复运行的结果都将相同。与此同时，也不存在任何人为设置、能够改变计算结果的参数。它完全是基于客观规律演绎出的结果。这被称为从头算（ab initio）方法（post-HF方法是典型的从头算方法，DFT是否属于从头算方法有些人有争议，但这更多地属于语义学的范畴。由于DFT计算有严格的理论基础，是从在化学世界中放之四海而皆准的量子力学规律中推导而来，在本书中将其统一称为从头算方法）。

以上为以Gaussian为例的例子，其他量子化学程序的计算流程大差不差，最终都会输出一个最关键的文本型输出文件，并且绝大多数情况下都可以生成波函数文件。前者包含了绝大多数结果信息，后者则可以用于后续波函数分析中。

2.3 第一性原理计算的流程、输入和输出
第一性原理计算的常用程序有VASP、Quantum Espresso、CP2K、CASTEP等。它与量子化学计算都是基于量子力学的基本原理，但用于处理不同的体系。第一性原理计算特指用于处理周期性体系的计算，如晶体、表面、周期性液体等，其共同特点是存在一个无限重复的单元。以图2.2中的石墨结构为例，这是一个典型的周期性晶胞，每个晶胞包含4个碳原子，在三维方向上无限重复。在进行第一性原理计算时，同样需要确定几何结构，此时指定的是一个晶胞内的原子坐标。
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第一性原理计算同样需要基组。与量子化学计算中采用以原子为中心的基函数、从而有许多种类的情况不同，大多数第一性原理计算程序（如VASP、QE）使用的是周期性的平面波函数，其形式是确定的，只需要指定动能截断的数值；也有以CP2K为代表的程序可以组合使用平面波函数和原子中心的基函数。动能截断越高，包含的平面波数量就越多。
采用平面波基组的优势是天然满足周期性边界条件，缺点则是需要很多平面波才能描述原子核附近电子密度变化剧烈的部分，因此人们采用了赝势方法，将原子核附近的内层电子等价为一个特定的势场，只考虑价电子的行为。
为了对周期性重复单元进行描述，第一性原理计算中涉及到了k点的概念。可以将k点看做是为了描述体系在各个方向上的周期性而引入的采样点；k点越密集，描述周期性体系的能力就越强。我们通常使用形如333的方式来描述k点，表明了在三个方向上放置k点的密度。
综上所述，第一性原理计算的输入文件中至少需要指定几何结构、平面波的动能截断、所采用的赝势、以及k点密度等信息。对于VASP，这些信息分散在四个输入文件（INCAR、POSCAR、KPOINTS、POTCAR）中；对于CP2K，这些信息以及其他更多设置集中在同一个输入文件中。
（后略）

2.4 统计热力学与分子动力学
在以上的篇幅中，我们介绍了基于量子力学原理研究分子体系与周期性体系的两类手段。事实上，在这个过程中我们忽略了一个问题：这些方法得到的，都是特定的分子、或是特定的周期性结构的性质；我们在例子中仿佛自然而然地读出了每个物质的焓或其他热力学量，但热力学量本质上并不是单个结构的性质——它是由大量粒子的行为所贡献的！所以，人们是如何通过计算一个分子或一个晶胞，就能知道1 mol这个物质的热力学量的呢？这就涉及到了构成理论与计算化学的另一个支柱：统计力学，特别是统计热力学。
统计热力学告诉我们，一群粒子的焓、熵、自由能等各种热力学量，本质上是由系统所能取到的各种状态所决定的。粒子自身蕴含着能量（即SCF过程得到的分子自身的绝对能量，称为电子能量），而在此基础上，粒子存在平动、振动和转动，如果知道了粒子的运动状态所带来的每个能级，即可写出统计力学描述体系状态的核心——配分函数，进而从中求出在特定温度和压力下粒子的热力学量。在量子化学和第一性原理计算中，配分函数中最重要的振动能级是通过频率计算得到的，因此为了得到热力学量，需要在构型优化之后进行频率计算。
与量子力学类似，统计力学也是在化学世界中放之四海而皆准的基本原理，因此两者被并成为“第一性原理”（first-principle）。第一性原理计算的名称就是由此而来。
由此，我们可以知道通常量子化学和第一性原理计算的思想，都是从初始结构出发，经过构型优化得到具有代表性的中间体或过渡态结构，再通过频率计算，得到该结构的热力学量。整个过程围绕着初始结构而展开，根据初始结构去研究距离初始结构较近的代表性结构。这种做法有“指哪打哪”的优势，但也存在不足；它依赖于对感兴趣的结构的手工建立，而许多情况下体系的构象分布十分复杂，不可能人为列举。这类体系的典型例子有生物大分子、聚合物、溶液中的众多溶剂和溶质分子等；它们的构象千变万化，而且许多构象都有着相似的贡献，几乎不可能凭借手工列举的方法得到足够有代表性的结构，因此我们需要除了上述计算过程之外的新的道路。这条道路即为通过让体系随着时间自发演化，再对演化的过程进行统计，基于统计力学的方法最终得到感兴趣的性质。这种方法被称为“分子动力学”（molecular dynamics, MD）。
在一段分子动力学轨迹中，从初始结构出发，人们设法求算每个结构中各原子的受力，再基于牛顿运动定律得到接下来一小段时间后的新结构，不断往复。每一步的时间尺度在飞秒量级；在经历大量走步之后，将每一步体系的结构、能量等信息记录下来，就构成了轨迹。对于一段有代表性的轨迹，我们可以对其进行统计平均，求取感兴趣的量，例如通过对动能的平均而求得温度，对每个结构的密度进行平均从而求得体系的整体密度等。
容易知道，分子动力学作为一个门类，与量子化学、第一性原理计算根据所处理的体系类型进行分类不同，是由于其独特的过程和思想而被分成一类的，因此与后两者并非是正交的关系。对于分子体系，可以通过量子化学的方法进行求解并得到受力；对于周期性体系，也可以通过第一性原理的方法求得受力。当受力来源于从头算方法时，我们将其称为基于从头算的分子动力学（ab-initio molecular dynamics, AIMD）。
另一方面，分子动力学经常处理成千上万个原子的大体系，远远超出了AIMD的尺度范围，此时人们会使用力场（force field, FF）方法。在力场方法中，人们将原子、甚至某些分子片段抽象成一个个服从牛顿运动定律的小球，人为规定原子的连接方式，将化学键当做服从胡克定律的弹簧处理，再通过特定的形式来引入原子之间的非键相互作用。与从头算相反，力场方法包含了许多力场参数，对分子的行为进行了诸多简化，其优点是避免了复杂的量子力学方程求解过程，速度很快，可以处理很大的体系。基于力场的分子动力学被称作经典动力学。经典动力学的常用软件有Gromacs、Amber、Forcite、LAMMPS等。